中3数学「円周角の定理を使う証明」穴埋め問題プリント【自動採点・印刷可】

円周角を使う証明のポイント

円がある図の証明では、等しい角を円周角の定理で見つけるのが中心です。根拠に使えるのは次の2つです。

円周角の定理：同じ弧に対する円周角は等しい（どの弧に対する円周角かを添える。例「弧 BC に対する円周角」）
半円の弧に対する円周角は 90°：直径の両端と円周上の点が作る角は直角（直径が出てきたらまずこれを疑う）

見つけた角に、対頂角・共通な角・二等辺三角形の底角を組み合わせて「2組の角がそれぞれ等しい」で相似をいう問題がほとんどです。角を2段階でつなぐ（底角 = 円周角 = …）問題では、①②の式を「①、②より」でまとめてから相似条件に進みます。

例題

円周上の 4 点 A、B、C、D について、弦 AC と BD の交点を P とする。△PAB ∽ △PDC であることを証明しなさい。

〔証明〕△PAB と △PDC において、対頂角は等しいから ∠APB = ∠DPC ……①。円周角の定理より、弧 BC に対する円周角だから ∠BAP = ∠CDP ……②。①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから、△PAB ∽ △PDC

下の問題は、証明の空欄をうめる形式です。相似条件の基本は相似の証明で練習できます。

プリントNo. 231554（このNo.のURLを開くと同じ問題を再現できます。※出題内容の改良により、同じNo.でも問題が変わることがあります）

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記述式で印刷（穴埋めなし・証明全体を書くプリント）

次の証明の空欄にあてはまるものを答えなさい。根拠と相似条件は選択肢から選びます。辺は AB のように、角は ∠ の後に ABC のように半角の英字で入力します（∠ABC と ∠CBA はどちらも正解です）。

次のことを証明しなさい。

(1)図のように、△PQR が円 O に内接している。頂点 P から辺 QR にひいた垂線と QR との交点を S、P を通る直径を PT とする。このとき、△PQS ∽ △PTR であることを証明しなさい。

〔証明〕△PQS と △PTR において、ア、∠PSQ = 90° ……①PT は直径だから、イ、∠PRT = 90° ……②①、②より、∠PSQ = ∠PRT ……③円周角の定理より、∠PQS = ウ∠ ……④（弧 PR に対する円周角）③、④より、エから、△PQS ∽ △PTR語群：仮定より／共通な角だから／対頂角は等しいから／円周角の定理より／半円の弧に対する円周角だから／二等辺三角形の底角は等しいから／平行線の錯角は等しいから／相似な図形の対応する角は等しいから／3組の辺の比がすべて等しい／2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい／2組の角がそれぞれ等しい／3組の辺がそれぞれ等しい／2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい／1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

〔証明〕答え：〔証明〕△PQS と △PTR において、ア仮定より、∠PSQ = 90° ……①PT は直径だから、イ半円の弧に対する円周角だから、∠PRT = 90° ……②①、②より、∠PSQ = ∠PRT ……③円周角の定理より、∠PQS = ウ∠PTR ……④（弧 PR に対する円周角）③、④より、エ2組の角がそれぞれ等しいから、△PQS ∽ △PTR

(2)図のように、線分 PQ を直径とする円 O の周上に点 R をとり、R から PQ にひいた垂線と PQ との交点を S とする。このとき、△PRS ∽ △PQR であることを証明しなさい。

〔証明〕△PRS と △PQR において、ア、∠PSR = 90° ……①イ、∠PRQ = 90° ……②①、②より、∠PSR = ウ∠ ……③共通な角だから、∠RPS = ∠QPR ……④③、④より、エから、△PRS ∽ △PQR語群：仮定より／共通な角だから／対頂角は等しいから／円周角の定理より／半円の弧に対する円周角だから／二等辺三角形の底角は等しいから／平行線の錯角は等しいから／相似な図形の対応する角は等しいから／3組の辺の比がすべて等しい／2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい／2組の角がそれぞれ等しい／3組の辺がそれぞれ等しい／2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい／1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

〔証明〕答え：〔証明〕△PRS と △PQR において、ア仮定より、∠PSR = 90° ……①イ半円の弧に対する円周角だから、∠PRQ = 90° ……②①、②より、∠PSR = ウ∠PRQ ……③共通な角だから、∠RPS = ∠QPR ……④③、④より、エ2組の角がそれぞれ等しいから、△PRS ∽ △PQR

(3)図のように、AB = AC の二等辺三角形 ABC が円に内接している。A をふくまない弧 BC 上に点 D をとり、AD と BC の交点を E とする。このとき、△ABE ∽ △ADB であることを証明しなさい。

〔証明〕△ABE と △ADB において、AB = AC で、ア、∠ABE = ∠ACB ……①円周角の定理より、∠ACB = イ∠ ……②（弧 AB に対する円周角）①、②より、∠ABE = ∠ADB ……③ウ、∠BAE = ∠DAB ……④③、④より、エから、△ABE ∽ △ADB語群：仮定より／共通な角だから／対頂角は等しいから／円周角の定理より／半円の弧に対する円周角だから／二等辺三角形の底角は等しいから／平行線の錯角は等しいから／相似な図形の対応する角は等しいから／3組の辺の比がすべて等しい／2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい／2組の角がそれぞれ等しい／3組の辺がそれぞれ等しい／2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい／1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

〔証明〕答え：〔証明〕△ABE と △ADB において、AB = AC で、ア二等辺三角形の底角は等しいから、∠ABE = ∠ACB ……①円周角の定理より、∠ACB = イ∠ADB ……②（弧 AB に対する円周角）①、②より、∠ABE = ∠ADB ……③ウ共通な角だから、∠BAE = ∠DAB ……④③、④より、エ2組の角がそれぞれ等しいから、△ABE ∽ △ADB

(4)図のように、円周上に 4 点 A、B、C、D があり、弦 AC と BD の交点を E とする。このとき、△EAB ∽ △EDC であることを証明しなさい。

〔証明〕△EAB と △EDC において、ア、∠AEB = ∠DEC ……①イ、∠BAE = ウ∠ ……②（弧 BC に対する円周角）①、②より、エから、△EAB ∽ △EDC語群：仮定より／共通な角だから／対頂角は等しいから／円周角の定理より／半円の弧に対する円周角だから／二等辺三角形の底角は等しいから／平行線の錯角は等しいから／相似な図形の対応する角は等しいから／3組の辺の比がすべて等しい／2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい／2組の角がそれぞれ等しい／3組の辺がそれぞれ等しい／2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい／1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

〔証明〕答え：〔証明〕△EAB と △EDC において、ア対頂角は等しいから、∠AEB = ∠DEC ……①イ円周角の定理より、∠BAE = ウ∠CDE ……②（弧 BC に対する円周角）①、②より、エ2組の角がそれぞれ等しいから、△EAB ∽ △EDC

円周角の定理を使う証明

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