中3数学「相似の証明」穴埋め問題プリント【自動採点・印刷可】

相似の証明の書き方

相似の証明は、合同の証明と同じ型で書けます。違いは、使う条件が三角形の相似条件になることと、辺の長さではなく辺の比を比べることです。

3組の辺の比がすべて等しい
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
2組の角がそれぞれ等しい（証明問題ではこれが圧倒的に多い）

角を見つけるコツ：共通な角（同じ頂点を共有する）、平行線の同位角・錯角、対頂角、直角（垂線）。辺の比を使うときは、3 : 6 = 1 : 2 のように最も簡単な整数の比に直してから等しいことを確かめます。対応する頂点の順に書く（△ADE ∽ △ACB なら A↔A、D↔C、E↔B）ことも採点の要点です。

例題

△ABC で、辺 AB、AC 上の点 D、E について DE ∥ BC のとき、△ADE ∽ △ABC であることを証明しなさい。

〔証明〕△ADE と △ABC において、DE ∥ BC で、平行線の同位角は等しいから ∠ADE = ∠ABC ……①。共通な角だから ∠DAE = ∠BAC ……②。①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから、△ADE ∽ △ABC

下の問題は、証明の空欄をうめる形式です。円周角を使う相似の証明は円周角の定理を使う証明へ。合同の証明の復習は三角形の合同の証明でどうぞ。

プリントNo. 183034（このNo.のURLを開くと同じ問題を再現できます。※出題内容の改良により、同じNo.でも問題が変わることがあります）

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記述式で印刷（穴埋めなし・証明全体を書くプリント）

次の証明の空欄にあてはまるものを答えなさい。比は最も簡単な整数の比で答えなさい。根拠と相似条件は選択肢から選びます。辺は AB のように、角は ∠ の後に ABC のように半角の英字で、比は 1:2 のように入力します。

次のことを証明しなさい。

(1)図の △PQR は ∠P = 90° の直角三角形で、頂点 P から辺 QR にひいた垂線と QR との交点を S とする。このとき、△PQR ∽ △SQP であることを証明しなさい。

〔証明〕△PQR と △SQP において、仮定より、∠QPR = ア∠ = 90° ……①イ、∠PQR = ウ∠ ……②①、②より、エから、△PQR ∽ △SQP語群：仮定より／共通な角だから／対頂角は等しいから／平行線の錯角は等しいから／平行線の同位角は等しいから／二等辺三角形の底角は等しいから／相似な図形の対応する角は等しいから／相似な図形の対応する辺の比は等しいから／3組の辺の比がすべて等しい／2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい／2組の角がそれぞれ等しい／3組の辺がそれぞれ等しい／2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい／1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

〔証明〕答え：〔証明〕△PQR と △SQP において、仮定より、∠QPR = ア∠QSP = 90° ……①イ共通な角だから、∠PQR = ウ∠SQP ……②①、②より、エ2組の角がそれぞれ等しいから、△PQR ∽ △SQP

(2)図の △PQR で、PQ = 8 cm、PR = 6 cm であり、辺 PQ 上に PS = 3 cm となる点 S、辺 PR 上に PT = 4 cm となる点 T をとる。このとき、△PST ∽ △PRQ であることを証明しなさい。

〔証明〕△PST と △PRQ において、PS : PR = 3 : 6 = ア ……①PT : PQ = 4 : 8 = イ ……②①、②より、PS : PR = PT : PQ ……③ウ、∠SPT = ∠RPQ ……④③、④より、エから、△PST ∽ △PRQ語群：仮定より／共通な角だから／対頂角は等しいから／平行線の錯角は等しいから／平行線の同位角は等しいから／二等辺三角形の底角は等しいから／相似な図形の対応する角は等しいから／相似な図形の対応する辺の比は等しいから／3組の辺の比がすべて等しい／2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい／2組の角がそれぞれ等しい／3組の辺がそれぞれ等しい／2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい／1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

〔証明〕答え：〔証明〕△PST と △PRQ において、PS : PR = 3 : 6 = ア1 : 2 ……①PT : PQ = 4 : 8 = イ1 : 2 ……②①、②より、PS : PR = PT : PQ ……③ウ共通な角だから、∠SPT = ∠RPQ ……④③、④より、エ2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから、△PST ∽ △PRQ

(3)図のように、線分 AB と CD が点 O で交わっていて、OA = 4 cm、OB = 6 cm、OC = 2 cm、OD = 3 cm である。このとき、△OAC ∽ △OBD であることを証明しなさい。

〔証明〕△OAC と △OBD において、OA : OB = 4 : 6 = ア ……①OC : OD = 2 : 3 = 2 : 3 ……②①、②より、OA : OB = OC : イ ……③ウ、∠AOC = ∠BOD ……④③、④より、エから、△OAC ∽ △OBD語群：仮定より／共通な角だから／対頂角は等しいから／平行線の錯角は等しいから／平行線の同位角は等しいから／二等辺三角形の底角は等しいから／相似な図形の対応する角は等しいから／相似な図形の対応する辺の比は等しいから／3組の辺の比がすべて等しい／2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい／2組の角がそれぞれ等しい／3組の辺がそれぞれ等しい／2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい／1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

〔証明〕答え：〔証明〕△OAC と △OBD において、OA : OB = 4 : 6 = ア2 : 3 ……①OC : OD = 2 : 3 = 2 : 3 ……②①、②より、OA : OB = OC : イOD ……③ウ対頂角は等しいから、∠AOC = ∠BOD ……④③、④より、エ2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから、△OAC ∽ △OBD

(4)図の台形 ABCD は AD ∥ BC で、対角線 AC と BD の交点を O とする。このとき、△OAD ∽ △OCB であることを証明しなさい。

〔証明〕△OAD と △OCB において、AD ∥ BC で、ア、∠OAD = イ∠ ……①ウ、∠AOD = ∠COB ……②①、②より、エから、△OAD ∽ △OCB語群：仮定より／共通な角だから／対頂角は等しいから／平行線の錯角は等しいから／平行線の同位角は等しいから／二等辺三角形の底角は等しいから／相似な図形の対応する角は等しいから／相似な図形の対応する辺の比は等しいから／3組の辺の比がすべて等しい／2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい／2組の角がそれぞれ等しい／3組の辺がそれぞれ等しい／2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい／1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

〔証明〕答え：〔証明〕△OAD と △OCB において、AD ∥ BC で、ア平行線の錯角は等しいから、∠OAD = イ∠OCB ……①ウ対頂角は等しいから、∠AOD = ∠COB ……②①、②より、エ2組の角がそれぞれ等しいから、△OAD ∽ △OCB

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