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二等辺三角形・平行四辺形の証明

二等辺三角形と平行四辺形の証明のポイント

この単元の証明は、三角形の合同に「図形の性質」と「図形になる条件」が加わります。性質は根拠として使い、条件は結論を導くときに使うと整理しておくと迷いません。

  • 二等辺三角形の性質：底角は等しい／頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分する
  • 二等辺三角形になる条件：2つの角が等しい三角形は二等辺三角形である
  • 平行四辺形の性質：対辺は平行で等しい／対角は等しい／対角線はそれぞれの中点で交わる
  • 平行四辺形になる条件（5つ）：2組の対辺がそれぞれ平行／2組の対辺がそれぞれ等しい／2組の対角がそれぞれ等しい／対角線がそれぞれの中点で交わる／1組の対辺が平行でその長さが等しい

「〜は二等辺三角形である」「〜は平行四辺形である」と結論づける問題では、最後の行でどの条件を使ったかを必ず書きます。合同を経由して辺や角が等しいことを示してから条件につなぐ問題も多く出ます。

例題

平行四辺形 ABCD で、∠A の二等分線が辺 BC と交わる点を E とする。△ABE は二等辺三角形であることを証明しなさい。

〔証明〕△ABE において、仮定より ∠BAE = ∠DAE ……①。AD ∥ BC で、平行線の錯角は等しいから ∠DAE = ∠BEA ……②。①、②より ∠BAE = ∠BEA。2つの角が等しい三角形は二等辺三角形であるから、△ABE は BA = BE の二等辺三角形である。

下の問題は、証明の空欄をうめる形式です。合同条件だけで解く証明は三角形の合同の証明・直角三角形の合同の証明で練習できます。

プリントNo. 265263（このNo.のURLを開くと同じ問題を再現できます。※出題内容の改良により、同じNo.でも問題が変わることがあります）

新しい問題ボタンをクリックすると、問題や空欄の位置が変わります。

新しい問題

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次の証明の空欄にあてはまるものを答えなさい。根拠と、結論を導く条件（合同条件・二等辺三角形になる条件・平行四辺形になる条件）は選択肢から選びます。辺は AB のように、角は ∠ の後に ABC のように半角の英字で入力します（AB と BA、∠ABC と ∠CBA はどちらも正解です）。

次のことを証明しなさい。

(1)図の平行四辺形 ABCD で、対角線の交点を O とし、O を通る直線が辺 AD、BC と交わる点をそれぞれ P、Q とする。このとき、OP = OQ であることを証明しなさい。平行四辺形ABCDの対角線の交点Oを通る直線が辺AD・BCと交わる点P・Qをとった図ABCDOPQ

〔証明〕△OAP と △OCQ において、平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、OA = ア ……①対頂角は等しいから、∠AOP = イ∠ ……②AD ∥ BC で、ウ、∠OAP = ∠OCQ ……③①、②、③より、エから、△OAP ≡ △OCQ合同な図形の対応する辺は等しいから、OP = OQ語群：仮定より／共通な辺だから／対頂角は等しいから／平行線の錯角は等しいから／平行線の同位角は等しいから／二等辺三角形の底角は等しいから／平行四辺形の対辺は等しいから／平行四辺形の対辺は平行だから／平行四辺形の対角は等しいから／平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから／合同な図形の対応する辺は等しいから／合同な図形の対応する角は等しいから／3組の辺がそれぞれ等しい／2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい／1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい／2つの角が等しい三角形は二等辺三角形である／2組の対辺がそれぞれ平行である／2組の対辺がそれぞれ等しい／2組の対角がそれぞれ等しい／対角線がそれぞれの中点で交わる／1組の対辺が平行でその長さが等しい
〔証明〕答え：〔証明〕△OAP と △OCQ において、平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、OA = アOC ……①対頂角は等しいから、∠AOP = イ∠COQ ……②AD ∥ BC で、ウ平行線の錯角は等しいから、∠OAP = ∠OCQ ……③①、②、③より、エ1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、△OAP ≡ △OCQ合同な図形の対応する辺は等しいから、OP = OQ

(2)図の平行四辺形 ABCD で、∠A の二等分線が辺 BC と交わる点を P とする。このとき、△ABP は二等辺三角形であることを証明しなさい。平行四辺形ABCDの∠Aの二等分線が辺BCと交わる点Pをとった図ABCDP

〔証明〕△ABP において、ア、∠BAP = イ∠ ……①AD ∥ BC で、平行線の錯角は等しいから、∠DAP = ∠BPA ……②①、②より、∠BAP = ウ∠ ……③③より、エから、△ABP は BA = BP の二等辺三角形である。語群：仮定より／共通な辺だから／対頂角は等しいから／平行線の錯角は等しいから／平行線の同位角は等しいから／二等辺三角形の底角は等しいから／平行四辺形の対辺は等しいから／平行四辺形の対辺は平行だから／平行四辺形の対角は等しいから／平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから／合同な図形の対応する辺は等しいから／合同な図形の対応する角は等しいから／3組の辺がそれぞれ等しい／2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい／1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい／2つの角が等しい三角形は二等辺三角形である／2組の対辺がそれぞれ平行である／2組の対辺がそれぞれ等しい／2組の対角がそれぞれ等しい／対角線がそれぞれの中点で交わる／1組の対辺が平行でその長さが等しい
〔証明〕答え：〔証明〕△ABP において、ア仮定より、∠BAP = イ∠DAP ……①AD ∥ BC で、平行線の錯角は等しいから、∠DAP = ∠BPA ……②①、②より、∠BAP = ウ∠BPA ……③③より、エ2つの角が等しい三角形は二等辺三角形であるから、△ABP は BA = BP の二等辺三角形である。

(3)図の平行四辺形 ABCD で、対角線 AC と BD の交点を O とし、線分 OB 上に点 P、線分 OD 上に点 Q を、BP = DQ となるようにとる。このとき、四角形 APCQ は平行四辺形であることを証明しなさい。平行四辺形ABCDの対角線BD上の点P・Qと、四角形APCQをかいた図ABCDOPQ

〔証明〕四角形 APCQ の対角線 AC、PQ について、平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、OA = OC ……①ア、OB = OD ……②イ、BP = DQ ……③②、③より、OP = OB − BP = OD − DQ = ウ ……④①、④より、エから、四角形 APCQ は平行四辺形である。語群：仮定より／共通な辺だから／対頂角は等しいから／平行線の錯角は等しいから／平行線の同位角は等しいから／二等辺三角形の底角は等しいから／平行四辺形の対辺は等しいから／平行四辺形の対辺は平行だから／平行四辺形の対角は等しいから／平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから／合同な図形の対応する辺は等しいから／合同な図形の対応する角は等しいから／3組の辺がそれぞれ等しい／2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい／1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい／2つの角が等しい三角形は二等辺三角形である／2組の対辺がそれぞれ平行である／2組の対辺がそれぞれ等しい／2組の対角がそれぞれ等しい／対角線がそれぞれの中点で交わる／1組の対辺が平行でその長さが等しい
〔証明〕答え：〔証明〕四角形 APCQ の対角線 AC、PQ について、平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、OA = OC ……①ア平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、OB = OD ……②イ仮定より、BP = DQ ……③②、③より、OP = OB − BP = OD − DQ = ウOQ ……④①、④より、エ対角線がそれぞれの中点で交わるから、四角形 APCQ は平行四辺形である。

(4)図の平行四辺形 ABCD で、対角線 AC と BD の交点を O とし、線分 OB 上に点 E、線分 OD 上に点 F を、BE = DF となるようにとる。このとき、四角形 AECF は平行四辺形であることを証明しなさい。平行四辺形ABCDの対角線BD上の点E・Fと、四角形AECFをかいた図ABCDOEF

〔証明〕四角形 AECF の対角線 AC、EF について、平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、OA = ア ……①平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、OB = OD ……②イ、BE = ウ ……③②、③より、OE = OB − BE = OD − DF = OF ……④①、④より、エから、四角形 AECF は平行四辺形である。語群：仮定より／共通な辺だから／対頂角は等しいから／平行線の錯角は等しいから／平行線の同位角は等しいから／二等辺三角形の底角は等しいから／平行四辺形の対辺は等しいから／平行四辺形の対辺は平行だから／平行四辺形の対角は等しいから／平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから／合同な図形の対応する辺は等しいから／合同な図形の対応する角は等しいから／3組の辺がそれぞれ等しい／2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい／1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい／2つの角が等しい三角形は二等辺三角形である／2組の対辺がそれぞれ平行である／2組の対辺がそれぞれ等しい／2組の対角がそれぞれ等しい／対角線がそれぞれの中点で交わる／1組の対辺が平行でその長さが等しい
〔証明〕答え：〔証明〕四角形 AECF の対角線 AC、EF について、平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、OA = アOC ……①平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、OB = OD ……②イ仮定より、BE = ウDF ……③②、③より、OE = OB − BE = OD − DF = OF ……④①、④より、エ対角線がそれぞれの中点で交わるから、四角形 AECF は平行四辺形である。

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