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式の計算の利用（整数の性質の証明）

中3の整数の性質の証明のポイント

中2の「文字式による説明」との違いは、2乗や積が出てくるので、乗法公式で展開し、因数分解で「◯×（整数）」の形にすることです。手順は同じ4ステップです。

  1. 文字で表す：奇数は 2n + 1、連続する2つの奇数は 2n + 1 と 2n + 3、連続する2つの整数は n と n + 1
  2. 展開する：(2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 のように乗法公式を使う
  3. くくり出す：4n2 + 8n + 4 = 4(n + 1)2 のように共通因数や因数分解で整理する
  4. 結論を書く：「（　）は整数だから、…は4の倍数である。したがって…」

よく出る形：4の倍数は 4×（整数）、奇数は 2×（整数）+ 1、「大きいほうの数の2乗」は (n + 1)2 のように、結論の形に合わせて式を変形するのがコツです。

例題

連続する2つの奇数の積に1を加えた数は、4の倍数になることを証明しなさい。

〔証明〕n を整数とすると、連続する2つの奇数は 2n + 1、2n + 3 と表される。(2n + 1)(2n + 3) + 1 = 4n2 + 8n + 3 + 1 = 4n2 + 8n + 4 = 4(n + 1)2。(n + 1)2 は整数だから、4(n + 1)2 は4の倍数である。したがって、連続する2つの奇数の積に1を加えた数は、4の倍数になる。

下の問題は、証明の空欄をうめる形式です。展開・因数分解の計算は式の展開（乗法公式）・因数分解で、くふう計算は式の計算の利用で練習できます。中2の説明は文字式による説明（整数の性質）へどうぞ。

プリントNo. 515317（このNo.のURLを開くと同じ問題を再現できます。※出題内容の改良により、同じNo.でも問題が変わることがあります）

新しい問題ボタンをクリックすると、問題や空欄の位置が変わります。

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次の説明の空欄にあてはまる式や言葉を答えなさい。式は 3n+3 や 3(n+1) のように入力します（文字や記号は下のボタンでも入力できます）。言葉は選択肢から選びます。

次のことを、文字を使って証明しなさい。

(1)連続する2つの整数の積に、大きいほうの数を加えると、大きいほうの数の2乗になる。このことを、文字を使って証明しなさい。

小さいほうの整数を n とすると、大きいほうの整数は ア と表される。積に大きいほうの数を加えると、n(n + 1) + (n + 1) = イ = (ウ )2n + 1 はエだから、(n + 1)2 は大きいほうの数の2乗である。したがって、連続する2つの整数の積に大きいほうの数を加えると、大きいほうの数の2乗になる。語群：整数／偶数／奇数／3の倍数／4の倍数／5の倍数／9の倍数／11の倍数
〔証明〕答え：小さいほうの整数を n とすると、大きいほうの整数は アn + 1 と表される。積に大きいほうの数を加えると、n(n + 1) + (n + 1) = イn2 + 2n + 1 = (ウn + 1)2n + 1 はエ整数だから、(n + 1)2 は大きいほうの数の2乗である。したがって、連続する2つの整数の積に大きいほうの数を加えると、大きいほうの数の2乗になる。

(2)奇数の2乗から1をひいた数は、4の倍数になる。このことを、文字を使って証明しなさい。

n を整数とすると、奇数は 2n + 1 と表される。その2乗から1をひくと、(2n + 1)2 − 1 = ア − 1 = イ = 4(ウ )n2 + n はエだから、4(n2 + n) は4の倍数である。したがって、奇数の2乗から1をひいた数は、4の倍数になる。語群：整数／偶数／奇数／3の倍数／4の倍数／5の倍数／9の倍数／11の倍数
〔証明〕答え：n を整数とすると、奇数は 2n + 1 と表される。その2乗から1をひくと、(2n + 1)2 − 1 = ア4n2 + 4n + 1 − 1 = イ4n2 + 4n = 4(ウn2 + n)n2 + n はエ整数だから、4(n2 + n) は4の倍数である。したがって、奇数の2乗から1をひいた数は、4の倍数になる。

(3)連続する2つの偶数で、大きいほうの数の2乗から小さいほうの数の2乗をひいた差は、4の倍数になる。このことを、文字を使って証明しなさい。

n を整数とすると、連続する2つの偶数は 2n、2n + 2 と表される。大きいほうの数の2乗から小さいほうの数の2乗をひくと、(2n + 2)2 − (2n)2 = ア − 4n2 = イ = 4(ウ )2n + 1 はエだから、4(2n + 1) は4の倍数である。したがって、連続する2つの偶数の2乗の差は、4の倍数になる。語群：整数／偶数／奇数／3の倍数／4の倍数／5の倍数／9の倍数／11の倍数
〔証明〕答え：n を整数とすると、連続する2つの偶数は 2n、2n + 2 と表される。大きいほうの数の2乗から小さいほうの数の2乗をひくと、(2n + 2)2 − (2n)2 = ア4n2 + 8n + 4 − 4n2 = イ8n + 4 = 4(ウ2n + 1)2n + 1 はエ整数だから、4(2n + 1) は4の倍数である。したがって、連続する2つの偶数の2乗の差は、4の倍数になる。

(4)連続する2つの奇数の積に1を加えた数は、4の倍数になる。このことを、文字を使って証明しなさい。

n を整数とすると、連続する2つの奇数は 2n + 1、ア と表される。それらの積に1を加えると、(2n + 1)(2n + 3) + 1 = 4n2 + 8n + 3 + 1 = イ = 4(ウ )2n + 1 は整数だから、4(n + 1)2 はエである。したがって、連続する2つの奇数の積に1を加えた数は、4の倍数になる。語群：整数／偶数／奇数／3の倍数／4の倍数／5の倍数／9の倍数／11の倍数
〔証明〕答え：n を整数とすると、連続する2つの奇数は 2n + 1、ア2n + 3 と表される。それらの積に1を加えると、(2n + 1)(2n + 3) + 1 = 4n2 + 8n + 3 + 1 = イ4n2 + 8n + 4 = 4(ウn + 1)2n + 1 は整数だから、4(n + 1)2 はエ4の倍数である。したがって、連続する2つの奇数の積に1を加えた数は、4の倍数になる。

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